Đạo hàm hữu hình được định nghĩa cho trường tensor vĩ mô bất kỳ y, trường tensor này chỉ phụ thuộc vào các tọa độ không gian và thời gian, y = y(x, t), như sau:

D y D t ≡ ∂ y ∂ t + u ⋅ ∇ y , {\displaystyle {\frac {\mathrm {D} y}{\mathrm {D} t}}\equiv {\frac {\partial y}{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla y,}

Trong đó ∇y là đạo hàm hiệp biến của trường tensor y, và u(x, t) là vận tốc dòng chảy. Nói chung đạo hàm đối lưu u•∇y của trường tensor y, chứa đạo hàm hiệp biến của trường này, và có thể được giải thích như là đạo hàm tensor đường dòng u•(∇y), hoặc là đạo hàm theo hướng đường dòng (u•∇) y của trường y, cả hai cách giả thích này đều dẫn đến kết quả tương tự.[10] Số hạng không gian chứa vận tốc dòng chảy này (u•∇y) là số hạng duy nhất mô tả sự vận chuyển của trường tensor do dòng chảy gây ra, còn các số hạng khác chỉ mô tả sự biến đổi nội tại của trường tensor này, và hoàn toàn không phụ thuộc vào sự hiện diện của dòng chảy. Điều dễ gây nhầm lẫn là, đôi khi cái tên "đạo hàm đối lưu" được sử dụng thay thế cho đạo hàm hữu hình đầy đủ D/Dt, thay vì chỉ cho số hạng không gian, u•∇.,[2] mặc dù bản thân nó cũng là một danh pháp dư thừa. Thực tế là, đạo hàm hữu hình chỉ bằng với đạo hàm đối lưu khi không có sự hiện diện của dòng chảy. Ảnh hưởng của số hạng không phụ thuộc thời gian (u•∇y) đối với trường vô hướng và trường tensor được định nghĩa tương ứng là sự bình lưu (advection) và sự đối lưu (convection).

Đối với trường vô hướng và trường vector

Ví dụ, đối với một trường vô hướng vĩ mô φ(x, t) và một trường vector vĩ mô A(x, t) ta có:

D φ D t ≡ ∂ φ ∂ t + u ⋅ ∇ φ , {\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \varphi }{\mathrm {D} t}}\equiv {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \varphi ,} D A D t ≡ ∂ A ∂ t + u ⋅ ∇ A , {\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \mathbf {A} }{\mathrm {D} t}}\equiv {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {A} ,}

Trong trường hợp trường vô hướng φ thì ∇φ đơn giản chỉ là gradient của một đại lượng vô hướng, trong khi ∇A là đạo hàm hiệp biến của trường vector vĩ mô. Cụ thể đối với một trường vô hướng trong hệ tọa độ Descartes ba chiều (x1,x2,x3), số hạng đối lưu là:

u ⋅ ∇ φ = u 1 ∂ φ ∂ x 1 + u 2 ∂ φ ∂ x 2 + u 3 ∂ φ ∂ x 3 . {\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \varphi =u_{1}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}}+u_{2}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{2}}}+u_{3}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{3}}}.}